När e går mot oändligheten

•

Gränsvärde

När vi gick igenom rationella funktioner kom oss fram mot att funktioner, oftast betecknade f(x), har något som kallas definitionsmängd, liksom betyder vilka variabelvärden x, som är tillåtna för just den funktionen.

Om vi tittar på enstaka funktion som

$$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$$

så ser oss direkt för att x ej får äga värdet noll, eftersom divisor (x²) då blir noll. Men vilket händer tillsammans med funktionens värde när oss befinner oss nära x=0? Ett utmärkt sätt för att undersöka detta är genom att rita upp funktionens graf. en annat sätt är för att skapa enstaka tabell var vi provar vilka värden funktionen får, när oss väljer variabelvärden som ligger allt närmare det odefinierade värdet x=0

x	f(x)
-1	1
-0,1
-0,01
1	1
0,1
0,01

När vi provar mindre samt mindre värden på x (positiva alternativt negativa), därför märker oss att detta inte finns någon övre gräns på grund av hur stort funktionsvärdet är kapabel bli. oss säger då att funktionsvärdet går mot oändligheten, ∞, eftersom funktionsvärdena blir oändligt stora (det finns ingen hejd vid hur stora värdena förmå bli).

Vad oss har undersökt här existerar funktionens gränsvärde för en visst värde på variabeln x. en annat sät

•

Gränsvärde

Den här artikeln handlar om gränsvärden inom matematiken. För gränsvärden av farliga ämnen, se Gränsvärde (arbetsmiljö).

Ett gränsvärde (limes) (matematisk symbol: lim) för en funktion beskriver funktionens värde när dess argument kommer tillräckligt nära en viss punkt eller växer sig oändligt (eller tillräckligt) stora. Gränsvärden används inom matematisk analys, bland annat för att definiera kontinuitet och derivata.

För gränsvärden används notationen

alternativt f(x) → A då x → a.

Båda utläses som ”gränsvärdet av f(x) då x går mot a är lika med A” eller ”limes av f(x) …”, alternativt ”f(x) går mot A då x går mot a”, och innebär att när x är "nästan a" kommer f(x) att vara "nästan A".

Funktioner av en variabel

[redigera | redigera wikitext]

Antag att f&#;: R → R är definierad på den reella tallinjen och att a, A ∈ R. Gränsvärdet av f, då x närmar sig a, är A och skrivs

om villkoret

För varje reellt ε&#;>&#;0, existerar ett reellt δ&#;>&#;0 sådant att för alla reella x, 0&#;<&#;|&#;x&#;−&#;a&#;|&#;<&#;δ impliceras |&#;
•
Gränsvärden
Gränsvärde när x går mot oändligheten
Man kan på ett intuitivt sätt förstå att då $x$ blir större och större så blir 1$/x$ mindre och mindre. Gränsvärdet av 1$/x$ när $x$ går mot oändligheten är noll. Detta skrivs så här:
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0\]
"lim" är en förkortning av det latinska ordet limes (vilket betyder gräns). "lim" skall uttalas limes. Notera att ett likhetstecken används, gränsvärdet är lika med noll.
Ett annat sätt att skriva gränsvärden på är:
\[\frac{1}{x}\rightarrow 0 \text{ då } x\rightarrow \infty \]
Här används istället pilar, 1$/x$ är aldrig lika med noll, men det går mot noll.
Blanda inte "lim" och pilar, eller uttryck och likhetstecken; välj en av formerna ovan!

I det allmänna fallet kallar vi gränsvärdet $A$, och skriver det som
\[\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=A \]
Den exakta gränsvärdesdefinitionen ingår inte i kursplanen. Informellt innebär de